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已知阿罗的不可能定理,为什么还要研究社会...

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发表于 2015-6-17 16:59:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知阿罗的不可能定理的前提下,微观经济学为什么还要研究社会福利函数?

  说白了就是经济学家为了发paper,而破坏阿罗不可能定理成立的条件。最猥琐(常见)的是直接假设representative agent,比较有节操的是限制可能的preference 的集合,比如作出single-peaked 假设;在微观里面,对应的是假设所有agents 的preference 是Gorman样子的 Gorman polar form ,这样就能存在一个社会福利函数了。
  但是正确理解这个问题,得先回顾下这个不可能定理。
  首先补充说一下,是先有Preference (也就是对一个集合里面所有选择,进行某种complete, transitive 的排序), 然后才有Utility 的。Utility 仅仅是Preference 数学上比较方便的实现(何况,有的时候有Preference,却写不出来Utility,比如Lexicographic preferences )。
  Complete 指的是对于集合中所有的元素中任意两个都能进行排序,transitive 指的是,排序是传导的(比如,A>B, B>C 则A>C。)
  为了方便,我用表示Agent i的utility。 u_{i}\left(B\right)" eeimg="1"> 的意思是A 对i来说优于B, 或者说,A 的utility 比B高。preference profile 指的是所有人的preference构成的向量,记做。
  阿罗不可能定理关心的是这么一个问题:
  对于n个人,他们有着任意的preference profile,可不可能将所有这些人个人的preference, 变成某种公共的preference,使得其是complete, transitive,并满足某些要求呢?
  “变成”,是一个把一群人preference profile映射成一个公共preference的函数,我将其记做
  。这个也就是所谓的社会福利函数。
  所谓的“要求”有3个:
  1. (pareto) 如果所有i都选择 u_{i}\left(B\right)" eeimg="1">,则公共preference 必然是u\left(B\right)" eeimg="1">
  2. 不存在独#裁者:不存在某个j, 使得。
  3. Independence of irrelevant alternatives:假定我对一个preference profile 进行 随便改动,但是唯独不改动A, B之间的关系,也就是说对任意i来说,若改动前ui(A)>ui(B),则改动后这个关系维持不变。若做此改动,u(A) 和u(B)大小关系维持不变。
  阿罗不可能定理说明,这样的F() 不存在,或者说,3个要求里最多只能同时满足两个。仔细观察这个定理可以明白,Arrow说的是把一堆人任意的preference profile 映射成公共preference 的这个函数F不存在,而不是说的是这个公共的preference不存在!
  所以,绕过这个不可能定理最简单的办法就是只关注于某个公共preference,也就是直接捏一个representative agent的办法,或者限制preference profile可能选取的集合。 限制preference profile可能选取的集合,本质上是破坏第3个“要求”。因为 随便改动preference profile,必然会使得preference profile跳出限制的集合(例如,很容易把一堆人single peaked preference改成不是single peaked)。
  存在一个公共的preference往往比一个不存在这个玩意的模型好分析的多,这种数学上的简便对很多人来说很重要。这是人们忽视不可能定理的实际原因。
  最后我评论下。这类问题其实蛮重要,因为这涉及到到底能不能把一堆agents,假想成一个representative agent——使得他们在行为上是等价的。阿罗不可能定理,虽然是一个social choice的理论,但是却直接对应着微观经济学中representative consumer 一般都是不存在这样的结论。这个不存在重要么?非常重要,因为它说明aggregate demand 是受到收入分布的影响的!这等于直接否定了从凯恩斯到新古典所有依赖representative consumer的理论。这也是宏观经济学要找微观经济基础的难点之一。
  来源:知乎www.zhihu.com
  作者:王相及

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